BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih antara dua barisan yang berurutan selalu tetap. Selisih ini disebut dengan beda.

Beda di rumuskan dengan :  B = U_n – U_n-1

Suku ke-n dari barisan Aritmatika dirumuskan :

      U_n = a + (n – 1)b                 Dimana : a = suku pertama

                                                                 B = beda

Jika n ganjil , maka suku tengahnya dirumuskan :  

U_t  = ½(a + U_n) dimana t = ½(n + 1)

Jika diantara 2 suku disisipkan K buah suku maka barisan tersebut memiliki beda baru (b’) yang dirumuskan :

B = b/k+1

2.Deret Aritmatika

=> jumlah suku dan barisan aritmatika  S_n = U₁ + U₂+ U₃ ….U_n dengan rumus :                                                                        

S_n  = n/2(2a + (n -1)b    atau  S_n  = n/2(a + U_n)

Contoh soal Barisan Aritmatika.

.1.  Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?

     Jawab :

     Dik :

     deret : 1. 3, 5, 7, ...

     a = 1

     b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

     Un = a + (n-1) b

          = 1 + (25-1)2

          = 1 +   (24).2

          = 1 + 48

          = 49

     Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49

2. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka  cari nilai dari suku pertamanya ?

    Jawab :

    Dik :

    U15 = 32

    b = 2

    n = 15

    Ditanya : a ?

    Penyelesaian :

    Un = a + (n-1) b

    U15 = a + (15-1) 2

    32 = a + (14).2

    32 = a + 28

    a = 32 - 28

    a = 4

    Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.

    Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

                     b). Besarnya suku ke-10

 Jawab :
    Diketahui :

    U7 = 33

    U12 = 58

    Penyelesaian :

    a). U7  = a + (7-1)b

          33  = a + 6b 

         U12 = a + (12-1)b

          58   = a + 11b

         Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

         58 = a + 11b

         33 = a + 6b   (-)

         25 = 5b

         b = 25/5

         b = 5

         

         33 = a + 6b 

         33 = a + 6.(5)

         33 = a + 30

         a   =  33 - 30

         a   = 3

  

    b). Un = a + (n-1) b

         U10 = 3 + (10-1). 5

                 = 3 + (9).5

                 = 3 + 45

                 = 48   

4.       Dalam suatu barisan aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86 , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ?

Jawab :

U₃ + U₇ = 56

(a + 2b) + (a +6b) = 56

2a + 8b = 56                        (dibagi 2)

a + 4b = 8             ….(1)

U₆ + U₁₀ = 86

(a + 5b) + (a + 9b) = 86

2a + 14b = 86                      (dibagi 2)

a + 7b = 43           ….(2)

Eliminasi (1) dan (2)

a + 4b = 8

a + 7b = 43 –

-3b = -15

b = 5            ….(3)

a = 8

jadi suku k-2 deret tersebut : U₂ = a + b = 8 + 5 = 13.

5.       Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 16 5, maka U₁₉ ?

INGAT bahwa :  Un = a + (n – 1)b

U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165

a + 18b = 55

sehingga U₁₉  = a + (19 – 1)b

= a + 18b = 55 .

6.      Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a.       Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b.       Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a.       Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n   = a + (n – 1)b

U₁₀  = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

 U_n   = a + (n – 1)b

        = 3 + (n – 1)5

        = 3 + 5n – 5

        = 5n – 2

b.       Misalkan U_n  = 198, maka berlaku :

U_n  = 198

5n – 2 = 198

5n  = 200

 n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

 Contoh soal Deret Aritmatika.

1.       itunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika  3 +  5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

  S₂₀ = 10( 6 + 19.2)

       = 10 ( 6 + 38)

       = 10 ( 44 }

       = 440

2.       Suatu deret aritmatika mempunyai  beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?

Jawab :

B = 2

S_2o= 240

Ingat bahwa : S_n  = n/2(2a + (n -1)b

S₂₀ = 20/2(2.a + (20 – 1).2)

240=10(2a + 38)

240=20a +380     dibagi 10

24=2a +38

2a=24-38

2a=-14

A=-7

Sehingga :

S₇ = 7/2(2a + (7 – 1)b)

     =7/2(2(-7) + (7 – 1)2)

     =7/2(-14 + 12 )

     = -7

3.       Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U . diketahui  U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ?

Jawab :

Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : U_n = a + (n – 1)b

Sehingga :

 U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72

(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72

4a + 26b = 72                      (dibagi dengan 2)

2a + 13b = 36

Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :

S_n  = n/2(2a + (n -1)b

S₁₄ = 14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.

4.       Diketahui     : U3 = 36, U5 + U7 = 144
Ditanya    : S10 ?
Jawab    :
Un = a + ( n – 1 )b
U3 = 36
U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36
U3 = a + 2b = 36     … (1)
U5 + U7 = 144    { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }
( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144
2a + 10b = 144    … (2)
Eliminasi kedua persamaan :
a + 2b = 36     … (1)    | x 2        2a + 4b = 72
2a + 10b = 144    … (2)    | x 1        2a + 10b = 144 –
                            –6b = –72
                            b = 12
Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :
a + 2b = 36     … (1)
a + 2(12) = 36
a = 36 – 24
a = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10
Sn = □(n/2) { 2a + ( n – 1 )b }
S10 =  □(10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }
S10 =  5 { 24 + (9)12 }
S10 =  5 { 24 + 108 }
S10 =  5 { 132 }
S10 =  660

5.       Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S₅). Pertama kita cari nilai a dan b.

U₃ = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U₄ = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
- b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S₅ = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.